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  • 路径压缩

    这一小节我们再来看一下并查集非常重要的一种优化方式–路径压缩(Path Compression)。

    用着三种方式表示我们这个五个节点是互相连接的,它们其实是等效的,具体查询过程中,无论是调用find,还是isConnected,在这三种树中去查询五个节点任意两个节点都是相连接的。

    但是由于这三种树深度不同,所以其实效率是不同的,对于最最侧的这棵树,高度达到5,所以如果我们执行find(4)的操作的话,时间效率会相对的慢一些,而最下面这棵树高度只有2,时间性能就比较高。

    不过在我们之前讲的并查集中,union的过程中,不断的去让根节点指向另外一棵树的根节点,这个过程中就免不了构建出来的树越来越高,路径压缩解决的问题就是让一颗比较高的树压缩成一棵比较矮的树。

    路径压缩的过程

    在我们查找一个节点对应的根节点是谁,在这个过程中,由于我们需要从这个节点不断的向上找到这个根节点,在这个寻找的过程中,顺便让这个节点的深度降低,那么具体压缩过程是怎么做的呢?

    从4开始其实是一步一步的向上去找到根节点,这里我们只关注4这个节点对应的根节点是谁,而并不一定要将所有的节点都遍历出来,所以在这个过程中,向上遍历的时候执行图中这样一句话。将p节点的父亲设置成p这个节点父亲的父亲,执行完之后变成这个样子。

    继续向上遍历,变成这个样子

    整棵树的深度从原来深度为5降到了深度为3,这个过程就叫做路径压缩。

    代码演示

    // 我们的第五版Union-Find
    public class UnionFind5 implements UF {
    
        // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
        // 在后续的代码中, 我们并不会维护rank的语意, 也就是rank的值在路径压缩的过程中, 有可能不在是树的层数值
        // 这也是我们的rank不叫height或者depth的原因, 他只是作为比较的一个标准
        private int[] rank;
        private int[] parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
        private int size;    // 数据个数
    
        // 构造函数
        public UnionFind5(int size){
    
            rank = new int[size];
            parent = new int[size];
            this.size = size;
    
            // 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
            for( int i = 0 ; i < size ; i ++ ){
                parent[i] = i;
                rank[i] = 1;
            }
        }
    
        @Override
        public int getSize(){
            return size;
        }
    
        // 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
        // O(h)复杂度, h为树的高度
        private int find(int p){
            if(p < 0 && p >= size)
                throw new IllegalArgumentException("p is out of bound.");
    
            while( p != parent[p] ){
                parent[p] = parent[parent[p]];
                p = parent[p];
            }
            return p;
        }
    
        // 查看元素p和元素q是否所属一个集合
        // O(h)复杂度, h为树的高度
        @Override
        public boolean isConnected( int p , int q ){
            return find(p) == find(q);
        }
    
        // 合并元素p和元素q所属的集合
        // O(h)复杂度, h为树的高度
        @Override
        public void unionElements(int p, int q){
    
            int pRoot = find(p);
            int qRoot = find(q);
    
            if( pRoot == qRoot )
                return;
    
            // 根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
            // 将元素个数少的集合合并到元素个数多的集合上
            if( rank[pRoot] < rank[qRoot] )
                parent[pRoot] = qRoot;
            else if( rank[qRoot] < rank[pRoot])
                parent[qRoot] = pRoot;
            else{ // rank[pRoot] == rank[qRoot]
                parent[pRoot] = qRoot;
                rank[qRoot] += 1;   // 此时, 我维护rank的值
            }
        }
    }
    

    下面依然在main函数中测试一下,依然使用千万级别的数据

    import java.util.Random;
    
    public class Main {
    
        private static double testUF(UF uf, int m){
    
            int size = uf.getSize();
            Random random = new Random();
    
            long startTime = System.nanoTime();
    
    
            for(int i = 0 ; i < m ; i ++){
                int a = random.nextInt(size);
                int b = random.nextInt(size);
                uf.unionElements(a, b);
            }
    
            for(int i = 0 ; i < m ; i ++){
                int a = random.nextInt(size);
                int b = random.nextInt(size);
                uf.isConnected(a, b);
            }
    
            long endTime = System.nanoTime();
    
            double time = (endTime - startTime) / 1000000000.0;
            return time;
        }
    
        public static void main(String[] args) {
    
            int size = 100000;
            int m = 10000000;
            double time;
    
    //        UnionFind1 uf1 = new UnionFind1(size);
    //        time = testUF(uf1, m);
    //        System.out.println("UnionFind1 : " + time + " s");
    //
    //        UnionFind2 uf2 = new UnionFind2(size);
    //        time = testUF(uf2, m);
    //        System.out.println("UnionFind2 : " + time + " s");
    
            UnionFind3 uf3 = new UnionFind3(size);
            time = testUF(uf3, m);
            System.out.println("UnionFind3 : " + time + " s");
    
            UnionFind4 uf4 = new UnionFind4(size);
            time = testUF(uf4, m);
            System.out.println("UnionFind4 : " + time + " s");
    
            UnionFind5 uf5 = new UnionFind5(size);
            time = testUF(uf5, m);
            System.out.println("UnionFind5 : " + time + " s");
        }
    }
    

    可以看出这个时间还是有一定提升的,这就是因为在运行find过程中,整个树的高度在不断的降低,相应的find过程也会快很多。

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