植树节,程序猿种的那些树

1. 二叉搜索树

定义

二叉搜索树又称二叉查找树,亦称为二叉排序树。设 x 为二叉查找树中的一个节点,x 节点包含关键字 key,节点x 的 key 值记为 key[x] 。如果 y 是 x 的左子树中的一个节点,则 key[y] <= key[x] ;如果 y 是 x 的右子树的一个节点,则 key[y] >= key[x] 。

查找性能

当数据数目为 N,树高度保持 logN 附近。则平均查找长度与 logN 成正比,查找平均时间复杂度为 O(logN) 。 当先后插入的关键字有序时,二叉搜索树退化成单支树结构。此时树高 N 。平均查找长度为 (N+1)/2 ,查找的平均时间复杂度为 O(N) 。

插入性能

插入效率与查找效率一致。

删除性能

删除节点时,若节点为叶子节点,或者节点只有单一子树,则时间复杂度为 O(1) 。若节点既有左子树又有右子树,则需要执行递归过程,对应时间复杂度为 O(logN) 。

应用场景

二叉排序树就既有链表的好处,也有数组的好处,因此 在处理大批量的动态的数据是比较有用

种树

2. 平衡二叉树

定义

平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树。平衡二叉树保证节点平衡因子的绝对值不超过1,保证了树的平衡

查找性能

平衡二叉树是严格平衡的,那么查找过程与二叉搜索树一样,只是平衡二叉树不会出现最差的单支树情形。因此查找效率最好,最坏情况时间复杂度为 O(logN) 。

插入性能

插入数据之前需要进行查找操作,查找到插入位置。插入数据后需要进行旋转操作,旋转操作复杂度为常量级。因此插入数据的时间复杂度与查找相同为 O(logN)。

删除性能

删除数据同样需要查找数据,在删除数据后需要进行调整。一次删除最多需要需要O(logN)次旋转,因此删除数据的时间复杂度为O(logN)+O(logN)=O(2logN)。

应用场景

SGI/STL的 set/map 底层都是用红黑树(平衡二叉树的一种)实现的。

种树

3. 红黑树

定义

平衡二叉树的严格平衡策略以牺牲建立查找结构(插入,删除操作)的代价,换来了稳定的O(logN) 的查找时间复杂度。红黑树采用了折中策略,即不牺牲太大的建立查找结构的代价,同时又能保证稳定高效的查找效率。

查找性能

由于红黑树的性质(最长路径长度不超过最短路径长度的 2 倍),可以说明红黑树虽然不像平衡二叉树一样是严格平衡的,但平衡性能还是要比二叉搜索树要好。其查找代价基本维持在 O(logN) 左右,但在最差情况下(最长路径是最短路径的 2 倍少 1),比平衡二叉树效率低一些。

插入性能

红黑树插入结点时,需要旋转操作和变色操作。但由于只需要保证红黑树基本平衡就可以了。因此插入结点最多只需要2次旋转,这一点和平衡二叉树的插入操作一样,但是变色操作的时间复杂度为O(logN)。

删除性能

红黑树的删除操作代价要比平衡二叉树要好的多,删除一个结点最多只需要 3 次旋转操作,保证了删除时间复杂度维持在常量级。

应用场景

应用场景有很多。
  • Java 中的 TreeSet ,TreeMap,HashMap
  • C++ 的 STL中的 map 和 set 都是用红黑树实现的
  • epoll 在内核中的实现,用红黑树管理事件块
  • nginx 中,用红黑树管理 timer 等
  • linux 进程调度 Completely Fair Schedule r,用红黑树管理进程控制块

种树

4. B 树

定义

B树是一种多路平衡查找树,在相同数据数目情形下,B树的高度更小,这样就减少了磁盘的IO次数,在文件系统以及数据库索引等场景下提升了查找效率。

查找性能

B树的查找分成两种:一种是从一个结点查找另一结点的地址的时候,需要定位磁盘地址(查找地址),查找代价极高。另一种是将结点中的有序关键字序列放入内存,进行优化查找(可以用折半),相比查找代价极低。而B树的高度很小,因此在这一背景下,B树比任何二叉结构查找树的效率都要高很多。

插入性能

B树的插入会发生结点的分裂操作。当插入操作引起了 s 个节点的分裂时,磁盘访问的次数为 h (读取搜索路径上的节点) +2s (回写两个分裂出的新节点) +1(回写新的根节点或插入后没有导致分裂的节点)。因此,所需要的磁盘访问次数是 h+2s+1,最多可达到 3h+1。因此插入的代价较大。

删除性能

B树的删除会发生结点合并操作。最坏情况下磁盘访问次数是 3h=(找到包含被删除元素需要h次读访问)+(获取第2至h层的最相邻兄弟需要h-1次读访问)+(在第3至h层的合并需要h-2次写访问)+(对修改过的根节点和第2层的两个节点进行3次写访问)。

应用场景

B树/B+树主要用于磁盘文件组织 数据索引和数据库索引等场景。

种树

5. B+ 树

定义

B+树是B-树的一种变体,B+树相比B-树的特点:
(1)索引节点的key值均会出现在叶子节点中。
(2)索引节点中的key值在叶子节点中或者为最大值或者为最小值。
(3)叶子节点使用单链表的形式链接起来。

查找性能

  (1)在相同数量的待查数据下,B+树查找过程中需要调用的磁盘IO操作要少于普通B-树。由于B+树所在的磁盘存储背景下,因此B+树的查找性能要好于B-树。
  (2)B+树的查找效率更加稳定,因为所有叶子结点都处于同一层中,而且查找所有关键字都必须走完从根结点到叶子结点的全部历程。因此同一颗B+树中,任何关键字的查找比较次数都是一样的。而B树的查找是不稳定的。

插入性能

B+树的插入过程与B树类似,性能也基本一致。

删除性能

删除性能与B树也基本一致。

应用场景

B树/B+树主要用于磁盘文件组织 数据索引和数据库索引等场景。

种树

6. 霍夫曼树

定义

给定 n 个权值作为 n 个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为霍夫曼树(Huffman Tree)
霍夫曼树是带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根较近。

应用场景

霍夫曼树主要用于霍夫曼编码,进行数据压缩领域。
霍夫曼编码
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